首页 高考真题 1954年,仍有许多学生不能在高考中做真正的数学题,不能解三角函数方程

1954年,仍有许多学生不能在高考中做真正的数学题,不能解三角函数方程

1954年高考是新中国成立后举行的第3次高考。当时所学知识的难度及广度都比不上现在,考试的难度自然也比如今的高考要低得多,甚至现在很多高中生表示自己如果早生几十年去参加那时的高考,…

1954年高考是新中国成立后举行的第3次高考。当时所学知识的难度及广度都比不上现在,考试的难度自然也比如今的高考要低得多,甚至现在很多高中生表示自己如果早生几十年去参加那时的高考,自己也会是一个学霸。不过,这并不表示当时所有的题都很简单,比如本文和大家分享这道1954年高考数学解三角函数方程的真题,现在还有不少学生不会做。

题目见上图。题中的tgx就是现在的tanx,在后面的讲解中也就换成了tanx。下面和大家分享本题的两种解法。

解法一:切化弦

在三角恒等变换中,切化弦是一个非常重要的变换技巧,简单说就是遇到正切余切时,就利用同角三角函数关系中的商数关系,即tanx=sinx/cosx将正切函数(现在的全国卷教材已经删除了余切)变为正余弦函数,从而变成了正余弦函数的运算。

在本题中,切化弦后等式左边的分子分母再同时乘以cosx,就变成了(cosx+sinx)/(cosx-sinx)。

原方程的右边出现了二倍角,所以可以用二倍角正弦公式进行变换,同时将“1”转化为同角三角函数的平方关系,从而方程右边就变成了(cosx+sinx)^2。

接下来,去分母,同时通过移项、提公因式等操作,就可以将方程化简为:2(cosx+sinx)(sinx)^2=0,则cosx+sinx=0或sinx=0。

当cosx+sinx=0时,tanx=-1,即x=kπ-π/4;

当sinx=0时,x=kπ。

当然,如果感觉直接去分母、移项处理比较麻烦,在得到(cosx+sinx)/(cosx-sinx)=(cosx+sinx)^2后,也可以直接进行讨论。即分为cosx+sinx=0和1/(cosx-sinx)=cosx+sinx两种情况讨论。

另外,再解cosx+sinx=0这种情况时,除了上面地方法,还可以用辅助角公式求解。具体解法见下图:

解法二:齐次式转化

原方程的左边先不动,右边的分母看成“1”,然后把“1”用同角三角函数的平方关系转化及并二倍角的正弦公式将sin2x转化,右边就也可以完全转化为一个tanx的分式,即(tanx+1)^2/[(tanx)^2+1]。

接下来求解tanx的值。求tanx的值的时候,不要直接去分母,那样计算量比较大,更简单的方法就是直接分类讨论,即分为tanx+1=0和1/(1-tanx)=(tanx+1)/[(tanx)^2+1]两种情况求解。

这道题的难度实际上并不大,但是不少同学不会做,你会做吗?

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